Question

（2012•石家庄一模）已知函数f（x）=

2ex

1+ax2

（e为自然对数的底数）．
（I ）若函数f（x）有极值，求实数a的取值范围；
（II）若a=1，m＞4（ln2-1），求证：当x＞0时，f（x）＞

2x2-mx+2

1+x2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数可得f′(x)=

2ex(1+ax2-2ax)

(1+ax2)2

，函数f（x）有极值，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，从而可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）-

2x2-mx+2

1+x2

=

2ex-2x2+mx-2

1+x2

，设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，证明h（x）在（0，+∞）上单调递增，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=

2ex

1+ax2

，可得f′(x)=

2ex(1+ax2-2ax)

(1+ax2)2

，…．（2分）
依题意，需方程1+ax²-2ax=0在x∈R上有两个不等实根，
则：

a≠0 △=4a2-2a＞0

，…（4分）
解得：a＞1或a＜0．…（5分）
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=

2ex

1+x2

，
∴f（x）-

2x2-mx+2

1+x2

=

2ex-2x2+mx-2

1+x2

，
设h（x）=2e^x-2x²+mx-2，∴h′（x）=2e^x-4x+m，
设g（x）=2e^x-4x+m（x＞0），g′（x）=2e^x-4，…（7分）
令g′（x）＜0，则0＜ln2；令g′（x）＞0，则x＞ln2；
∴函数g（x）在（0，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴g（x）_min=g（ln2）=4-4ln2+m，
∴h′（x）≥4-4ln2+m，…（9分）
∵m＞4（ln2-1），∴h′（x）≥4-4ln2+m＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵h（0）=0，
∴h（x）＞0，…（11分）
∵1+x²＞0，∴

2ex-2x2+mx-2

1+x2

＞0，
∴f（x）-

2x2-mx+2

1+x2

=

2ex-2x2+mx-2

1+x2

＞0，
即f（x）＞

2x2-mx+2

1+x2

．…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式的证明，考查函数思想的运用，正确构造函数，确定函数的单调性是关键．