Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=1，当n≥2时，都有a_n=a_n-1+2n-1，记…．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：T_n＜2；
（Ⅲ）令，B_n=b₁b₂…b_n，试比较与B_n的大小．

Answer 1

（Ⅰ）解：当n≥2时，∵a_n=a_n-1+2n-1，
∴a₂-a₁=2×2-1
a₃-a₂=2×3-1
…
a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加得a_n-a₁=2（2+3+…+n）-（n-1），
∴a_n-a₁=2×
∴．
又当n=1时，a₁=1满足上式，故．
（Ⅱ）证明：
=．
（Ⅲ）解：，，
当n=1时，；
当n=2时，；
当n=3时，；
猜想当n≥3时，．
以下用数学归纳法证明：
①当n=3时，左边==右边，命题成立．
②假设当n=k（k≥3）时，，即．
当n=k+1时，=，命题成立．
故当n≥3时，．
综上所述，当n=1时，，
当n=2时，，
当n≥3时，．
分析：（Ⅰ）当n≥2时，利用a_n=a_n-1+2n-1，写出a₂-a₁=2×2-1，a₃-a₂=2×3-1，…a_n-a_n-1=2×n-1
各式相加，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先放缩，再裂项求和，即可证得结论；
（Ⅲ）先计算当n=1时，；当n=2时，；当n=3时，；
猜想当n≥3时，，再用数学归纳法证明．
点评：本题以数列递推式为载体，考查数列的通项公式，考查不等式的证明，同时考查裂项法，数学归纳法的运用，先猜后证是关键．