Question

（2006•宝山区二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AC₁与底面成60°角，E、F分别为AA₁、AB的中点．求异面直线EF与AC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：根据直三棱柱的性质，得∠C₁AC就是AC₁与底面ABC所成的角，可得∠C₁AC=60°，Rt△C₁AC中算出AC₁=4．以CA、CB、CC₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，可得向量

EF

、

AC1

的坐标，利用空间向量的夹角公式算出cos＜

EF

，

AC1

＞=

5

5

，即可得到异面直线EF与AC₁所成角的大小．

解答：解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵CC₁⊥平面ABC，
∴∠C₁AC就是AC₁与底面ABC所成的角，得∠C₁AC=60°，
Rt△C₁AC中，AC=2，所以AC₁=4，…（3分）
以C为坐标原点，CA为x轴、CB为y轴、CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设异面直线EF与AC₁所成的角为θ，
可得A（2，0，0），C1(0，0，2

3

)，E(2，0，

3

)，
F（1，1，0），…（7分）
∴

EF

=(-1，1，-

3

)，

AC1

=(-2，0，2

3

)，…（9分）
可得cosθ=

| EF • AC1 |

| EF |•| AC2 |

=

5

5

，所以θ=arccos

5

5

即异面直线EF与AC₁所成角的大小为arccos

5

5

．…（12分）

点评：本题在直三棱柱中求异面直线所成角的大小．着重考查了直棱柱的性质、直线与平面所成角的定义和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．