Question

设集合A={x|（x-4）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-1）（x-4）=0}．
（1）求A∪B，A∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的值；
（3）若a=5，则A∪B的真子集共有 ______个，集合P满足条件（A∩B）?P?（A∪B），写出所有可能的集合P．

Answer 1

解：（1）①当a=4时，A={4}，B={1，4}，故A∪B={1，4}，A∩B={4}；
②当a=1时，A={1，4}，B={1，4}，故A∪B={1，4}，A∩B={1，4}；
③当a≠4且a≠1时，A={a，4}，B={1，4}，故A∪B={1，a，4}，A∩B={4}．
（2）由（1）知，若A⊆B，则a=1或4．
（3）若a=5，则A={4，5}，B={1，4}，
故A∪B={1，4，5}，此时A∪B的真子集有7个．
又∵A∩B={4}，
∴满足条件（A∩B）?P?（A∪B）的所有集合P有{1，4}、{4，5}．
分析：（1）已知集合A={x|（x-4）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-1）（x-4）=0}，根据一元二次不等式的解法，分别求出集合A，B，然后再根据交集合并集的定义求出A∪B，A∩B；
（2）因为A⊆B，说明A是B的子集，根据子集的定义进行求解．
（3）把a=5，代入集合A，然后求出集合A∪B，从而算出其子集，并写出所有可能的集合P．
点评：此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．