Question

1．已知函数f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值．
（2）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程与曲线y²=x所围成图形面积．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值；
（2）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程，再由定积分公式，计算即可得到所求面积．

解答 解：（1）由f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，x＞0知：
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．
又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a-alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a-alna，无极大值．
（2）当a=2时，f（x）=x-2lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$（x＞0），
因而f（1）=1，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为
y-1=-（x-1），即x+y-2=0，
由y=2-x和解得交点坐标为（1，1），（4，-2），
则围成图形面积为${∫}_{-2}^{1}$（2-y-y²）dy=（2y-$\frac{1}{2}$y²-$\frac{1}{3}$y³）|${\;}_{-2}^{1}$
=（2-$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）-（-4-2+$\frac{8}{3}$）=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的数学思想以及定积分的运用，属中档题．