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找一个最小的正整数m,使得当正整数n≥m时,2n-1>(n-1)2 恒成立,并用数学归纳法证明这个不等式.

解:当n=1时2n-1>(n-1)2
当n=2时,2n-1>(n-1)2
当n=3时,2n-1=(n-1)2
当n=4时2n-1<(n-1)2
当n=5时2n-1=(n-1)2
当n=6时 2n-1>(n-1)2
当n=7,8时 2n-1>(n-1)2

猜想当n≥6,2n-1>(n-1)2 恒成立.m的最小值为6.
或令n-1=t,在同一平面直角坐标系内函数y=2t与y=t2的图象

交于两点(2,4),(4,16),当t≥5时2t>t2,所以当n≥6时,2n-1>(n-1)2 恒成立,得m的最小值为6.
数学归纳法证明:
(1)当n=6时,26-1=25=32,(6-1)2=25,32>25,2n-1>(n-1)2 成立
(2)假设当n=k(k≥6)时不等式成立,即有2k-1>(k-1)2
则当n=k+1时,2(k+1)-1=2k=2•2k-1>2•(k-1)2=k2+[(k-2)2-2]>k2 (∵(k-2)2-2>0)
=[(k+1)-1]2,即是说 当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)可知当n≥6,时2n-1>(n-1)2 恒成立.
分析:对n=1,2,3,4,…取值验证或借助于函数y=2x与y=x2的图象,找出最小的正整数m等于6,再按照数学归纳法的步骤进行证明.
点评:本题考查猜想、证明的推理方法,考查数学归纳法证明命题.函数y=2x与y=x2是考查指数函数与幂函数综合题时常用的两个模型,应掌握同一平面直角坐标系内的图象,以便于研究解决问题.
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