Question

找一个最小的正整数m，使得当正整数n≥m时，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，并用数学归纳法证明这个不等式．

Answer 1

解：当n=1时2^n-1＞（n-1）²
当n=2时，2^n-1＞（n-1）²
当n=3时，2^n-1=（n-1）²
当n=4时2^n-1＜（n-1）²
当n=5时2^n-1=（n-1）²
当n=6时 2^n-1＞（n-1）²
当n=7，8时 2^n-1＞（n-1）²
…
猜想当n≥6，2^n-1＞（n-1）² 恒成立．m的最小值为6．
或令n-1=t，在同一平面直角坐标系内函数y=2^t与y=t²的图象

交于两点（2，4），（4，16），当t≥5时2^t＞t²，所以当n≥6时，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，得m的最小值为6．
数学归纳法证明：
（1）当n=6时，2^6-1=25=32，（6-1）²=25，32＞25，2^n-1＞（n-1）² 成立
（2）假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即有2^k-1＞（k-1）²
则当n=k+1时，2^（k+1）-1=2^k=2•2^k-1＞2•（k-1）²=k²+[（k-2）²-2]＞k² （∵（k-2）²-2＞0）
=[（k+1）-1]²，即是说 当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）可知当n≥6，时2^n-1＞（n-1）² 恒成立．
分析：对n=1，2，3，4，…取值验证或借助于函数y=2^x与y=x²的图象，找出最小的正整数m等于6，再按照数学归纳法的步骤进行证明．
点评：本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．函数y=2^x与y=x²是考查指数函数与幂函数综合题时常用的两个模型，应掌握同一平面直角坐标系内的图象，以便于研究解决问题．