找一个最小的正整数m,使得当正整数n≥m时,2n-1>(n-1)2 恒成立,并用数学归纳法证明这个不等式.
解:当n=1时2
n-1>(n-1)
2
当n=2时,2
n-1>(n-1)
2
当n=3时,2
n-1=(n-1)
2
当n=4时2
n-1<(n-1)
2
当n=5时2
n-1=(n-1)
2
当n=6时 2
n-1>(n-1)
2 当n=7,8时 2
n-1>(n-1)
2 …
猜想当n≥6,2
n-1>(n-1)
2 恒成立.m的最小值为6.
或令n-1=t,在同一平面直角坐标系内函数y=2
t与y=t
2的图象

交于两点(2,4),(4,16),当t≥5时2
t>t
2,所以当n≥6时,2
n-1>(n-1)
2 恒成立,得m的最小值为6.
数学归纳法证明:
(1)当n=6时,2
6-1=25=32,(6-1)
2=25,32>25,2
n-1>(n-1)
2 成立
(2)假设当n=k(k≥6)时不等式成立,即有2
k-1>(k-1)
2则当n=k+1时,2
(k+1)-1=2
k=2•2
k-1>2•(k-1)
2=k
2+[(k-2)
2-2]>k
2 (∵(k-2)
2-2>0)
=[(k+1)-1]
2,即是说 当n=k+1时不等式也成立.
由(1)(2)可知当n≥6,时2
n-1>(n-1)
2 恒成立.
分析:对n=1,2,3,4,…取值验证或借助于函数y=2
x与y=x
2的图象,找出最小的正整数m等于6,再按照数学归纳法的步骤进行证明.
点评:本题考查猜想、证明的推理方法,考查数学归纳法证明命题.函数y=2
x与y=x
2是考查指数函数与幂函数综合题时常用的两个模型,应掌握同一平面直角坐标系内的图象,以便于研究解决问题.