Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-λf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围；
（3）设函数h（x）=log₂[p-f（x）]，若此函数在定义域范围内不存在零点，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．我们易根据出关于系数a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c值后，即可得到函数f（x）的解析式；
（2）由（1）的结论及g（x）=f（-x）-λf（x）+1，我们可以得到g（x）的表达式，由于其解析式为类二次函数的形式，故要对二次项系数进行分类讨论，最后综合讨论结果即可得到实数λ的取值范围；
（3）由函数h（x）=log₂[p-f（x）]在定义域内不存在零点，则根据真数必须大于0，1的对数等于0的法则，我们可以构造出一个关于p的不等式组，解不等式组，即可得到答案．
解答：解：（1）设f（x）=ax（x+2），又a＞0，f（-1）=-1，
∴a=1，
∴f（x）=x²+2x．（4分）
（2）∵g（x）=f（-x）-λf（x）+1，
∴g（x）=（1-λ）x²-2（1+λ）x+1，
①当λ=1时，g（x）=-4x=1在[-1，1]上是减函数，满足要求；
②当λ≠1时，对称轴方程为：x=．
ⅰ）当λ＜1时，1-λ＞0，所以≥1，解得0≤λ＜1；
ⅱ）当λ＞1时，1-λ＜0，所以≤-1，解得λ＞1．
综上，λ≥0．（7分）
（3）函数h（x）=log₂[p-f（x）]在定义域内不存在零点，必须且只须有
p-f（x）＞0有解，且p-f（x）=1无解．
即[p-f（x）]max＞0，且1不在[p-f（x）]的值域内．
f（x）的最小值为-1，
∴函数y=p-f（x）的值域为（-∞，p+1]．
∴，解得-1＜p＜0．
∴p的取值范围为（-1，0）．（10分）
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，对数函数的单调性与特殊点，其中根据已知条件确定出函数f（x）的解析式是解答本题的切入点和关键．