Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-lnx-2，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可．
（II）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（I）$f'（x）=ax-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-1}}{x}，x＞0$…（2分）
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；…（4分）
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得$x=\frac{{\sqrt{a}}}{a}$，
当$x∈（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$时，f′（x）＜0；
当$x∈（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）在当$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$内单调递减，在$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$内单调递增；…（6分）
（II） 当a≤0时，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
函数f（x）不可能有两个零点； …（8分）
当a＞0时，由（I）得，函数f（x）在当$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$内单调递减，
在$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$内单调递增，且当x趋近于0和正无穷大时，f（x）都趋近于正无穷大，
故若要使函数$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-lnx-2$有两个零点；…（10分）
则f（x）的极小值$f（\frac{{\sqrt{a}}}{a}）＜0$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}lna-2＜0$，解得0＜a＜e³
所以a的取值范围是（0，e³）…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的零点的求法，考查分析问题解决问题的能力．