精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,动点P与两个定点M(1,0),N(4,0)的距离之比为
1
2

(Ⅰ)求动点P的轨迹W的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+3与曲线W交于A,B两点,在曲线W上是否存在一点Q,使得
OQ
=
OA
+
OB
,若存在,求出此时直线l的斜率;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),再由M和N的坐标,利用两点间的距离公式分别表示出|PM|及|PN|,由距离之比为
1
2
列出关系式,整理后即可得到动点P轨迹W的方程;
(Ⅱ)由第一问得到的W轨迹方程为圆心(0,0),半径为2的圆,且直线l与圆交于两个,得到圆心到直线l的距离d小于半径r,利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式,求出不等式的解集得到k的范围,假设存在Q点,使得
OQ
=
OA
+
OB
,又A和B再圆上,利用由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形,根据菱形的对角线互相平分且垂直,得到OQ与AB互相垂直且平分,可得出原点到直线l的距离等于|OQ|的一半,即为半径的一半,利用点到直线的距离公式列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,经检验符合k的范围,故存在点Q,使得
OQ
=
OA
+
OB
,.
解答:解:(Ⅰ)设点P坐标为(x,y),依题意得:
|PM|
|PN|
=
1
2

又M(1,0),N(4,0),
∴2
(x-1)2+y2
=
(x-4)2+y2

化简得:x2+y2=4,
则动点P轨迹W方程为x2+y2=4;                       
(Ⅱ)∵直线l:y=kx+3与曲线W交于A,B两点,且W轨迹为圆心为(0,0),半径r=2的圆,
∴圆心到直线l的距离d=
3
1+k2
<r=2,即k2
5
4

解得:k>
5
2
或k<-
5
2

假设存在点Q点,使得
OQ
=
OA
+
OB

由A,B圆上,且
OQ
=
OA
+
OB

利用向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB为菱形,
∴OQ与AB互相垂直且平分,
∴原点O到直线l:y=kx+3的距离为d=
1
2
|OQ|=1,即
3
1+k2
=1,
整理得:k2=8,
解得:k=±2
2
,经验证满足条件,
则存在点Q,使得
OQ
=
OA
+
OB
点评:此题考查了直线与圆相交的性质,动点的轨迹方程,圆的标准方程,点到直线的距离公式,直线与圆的位置关系,菱形的判定与性质,以及向量在几何中的运用,是一道综合性较强的试题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xoy中,已知圆心在直线y=x+4上,半径为2
2
的圆C经过坐标原点O,椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)
与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程;
(2)若F为椭圆的右焦点,点P在圆C上,且满足PF=4,求点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.若点A的横坐标是
3
5
,点B的纵坐标是
12
13
,则sin(α+β)的值是
16
65
16
65

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系xOy中,若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1
的离心率为
1
2
,则m的值为
4
4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•泰州三模)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
3t
,0)
,其中t≠0.设直线AC与BD的交点为P,求动点P的轨迹的参数方程(以t为参数)及普通方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•东莞一模)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),且椭圆C的离心率e=
1
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的上下顶点分别为A1,A2,Q是椭圆C上异于A1,A2的任一点,直线QA1,QA2分别交x轴于点S,T,证明:|OS|•|OT|为定值,并求出该定值;
(3)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=2与圆O:x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

同步练习册答案