Question

12．若正数x，y满足$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，则3x+4y的最小值是5．

Answer 1

分析 由条件可得1=$\frac{1}{5}$（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$），运用乘1法，可得3x+4y=$\frac{1}{5}$（3x+4y）（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）=$\frac{1}{5}$（9+4+$\frac{3x}{y}$+$\frac{12y}{x}$），运用基本不等式，可得最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：由正数x，y满足$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
可得1=$\frac{1}{5}$（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$），
3x+4y=（3x+4y）•1=$\frac{1}{5}$（3x+4y）（$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{5}$（9+4+$\frac{3x}{y}$+$\frac{12y}{x}$）≥$\frac{1}{5}$（13+2$\sqrt{\frac{3x}{y}•\frac{12y}{x}}$）
=$\frac{1}{5}$×（13+12）=5．
当且仅当$\frac{3x}{y}$=$\frac{12y}{x}$，即x=2y，又$\frac{3}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
解得x=1，y=$\frac{1}{2}$，3x+4y取得最小值5．
故答案为：5．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．