Question

8．已知递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（ I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令${b_n}={a_n}•{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，S_n=b₁+b₂+…b_n，求S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质解出即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{a_2}+{a_3}+{a_4}=28\\ 2（{a_3}+2）={a_2}+{a_4}\end{array}\right.$，…（1分）
即$\left\{\begin{array}{l}{a_3}=8\\{a_2}+{a_4}=20\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=8\\{a_1}q+{a_1}{q^3}=20\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=32\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$（舍）…（4分）
∴${a_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$．…（5分）
（Ⅱ）${b_n}={a_n}{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}={2^n}{log_{\frac{1}{2}}}{2^n}=-n•{2^n}$，…（6分）
∴${S_n}=-1×2-2×{2^2}-3×{2^3}-…-n×{2^n}（1）$
$2{S_n}=-1×{2^2}-2×{2^3}-3×{2^4}-…-n×{2^{n+1}}（2）$…（8分）
∴$（1）-（2），-{S_n}=-（2+{2^2}+{2^3}+…{2^n}）+n×{2^{n+1}}$=$-\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}+n×{2^{n+1}}=（n-1）×{2^{n+1}}+2$…（11分）
∴${S_n}=（1-n）×{2^{n+1}}-2$．…（12分）

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．