Question

12．已知△ABC的外心为O，重心为G，且|AB|=4，|AC|=2，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的值是$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用数量积的定义求出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$的值，用$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$表示向量$\overrightarrow{AG}$，即可求出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的值．

解答 解：△ABC中，外心为O，且|AB|=4，|AC|=2，
如图所示：
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${|\overrightarrow{AB}|}^{2}$=$\frac{1}{2}$×4²=8，
同理，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2²=2；
又G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$×8+$\frac{1}{3}$×2=$\frac{10}{3}$．
故答案为：$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的运算问题，解题时应结合几何图形的性质，确定向量之间的关系，再利用数量积和三角形的定理求出结论，是综合性题目．