【题目】若a>0,b>0,且 .
(I) 求a3+b3的最小值;
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【答案】【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且 + = ,
∴ = + ≥2 ,∴ab≥2,
当且仅当a=b= 时取等号.
∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4 ,当且仅当a=b= 时取等号,
∴a3+b3的最小值为4 .
(Ⅱ)∵2a+3b≥2 =2 ,当且仅当2a=3b时,取等号.
而由(1)可知,2 ≥2 =4 >6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
【解析】(1)两次连续代入公式,注意“=”成立条件是:当且仅当a=b.
(2)同样代入公式,此时“=”成立的条件是2a=3b,与题目a=b不同,故不成立。
【考点精析】利用基本不等式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知基本不等式:,(当且仅当时取到等号);变形公式:.
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【题目】给出关于双曲线的三个命题:
①双曲线 ﹣ =1的渐近线方程是y=± x;
②若点(2,3)在焦距为4的双曲线 ﹣ =1上,则此双曲线的离心率e=2;
③若点F,B分别是双曲线 ﹣ =1的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上.
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上,且对角线AC,BD均过坐标原点O,点D(2,1),AC,BD的斜率之积为 .
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)过D作直线l平行于AC.若直线l′平行于BD,且与椭圆E交于不同的两点M.N,与直线l交于点P.
⑴证明:直线l与椭圆E有且只有一个公共点;
⑵证明:存在常数λ,使得|PD|2=λ|PM||PN|,并求出λ的值.
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点( , ).
(1)若函数g(x)=f(x)﹣(a﹣1)x(a>0),求g(x)最大值(用a表示);
(2)若a=﹣4,f(x1)+f(x2)+x1+x2+3x1x2=2,证明:x1+x2≥ .
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【题目】在数列{an}中,首项 ,前n项和为Sn , 且
(1)求数列{an}的通项
(2)如果bn=3(n+1)×2nan , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表:
产品品种 | 劳动力(个) | 煤(吨) | 电(千瓦时) |
A产品 | 3 | 9 | 4 |
B产品 | 10 | 4 | 5 |
已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦时,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?
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【题目】若图,在三棱柱 中,平面 平面 ,且 和 均为正三角形.
(1)在 上找一点 ,使得 平面 ,并说明理由.
(2)若 的面积为 ,求四棱锥 的体积.
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【题目】如图,矩形 中, , ,点 是 上的动点.现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ,使得 .
(Ⅰ)求证:当 时, ;
(Ⅱ)试求 的长,使得二面角 的大小为 .
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