Question

已知数列满足＋＝4n－3(n∈)．
（1）若数列是等差数列，求的值；
（2）当＝2时，求数列的前n项和；
（3）若对任意n∈，都有≥5成立，求的取值范围．

Answer 1

⑴；⑵＝(k∈Z)；⑶，，．

（1）若数列是等差数列，则＝＋(n－1)d，＝＋nd．
由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3，解得d＝2，＝．
（2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．
两式相减，得－＝4．
所以数列是首项为，公差为4的等差数列．
数列是首项为，公差为4的等差数列．
由＋＝1，＝2，得＝－1．
所以＝(k∈Z)．①当n为奇数时，＝2n，＝2n－3．
＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋
＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．
②当n为偶数时，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝．
所以＝(k∈Z)．
（3）由（2）知，＝(k∈Z)．
①当n为奇数时，＝2n－2＋，＝2n－1－．
由≥5，得－≥＋16n－10．
令＝＋16n－10＝＋6．
当n＝1或n＝3时，＝2，所以－≥2．
解得≥2或≤－1．
②当n为偶数时，＝2n－3－，＝2n＋．
由≥5，得＋≥＋16n－12．
令＝＋16n－12＝＋4．
当n＝2时，＝4，所以＋≥4．
解得≥1或≤－4．
综上所述，的取值范围是，，．