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已知向量,若的夹角为60°,则直线 与圆的位置关系是( )
A.相交但不过圆心
B.相交过圆心
C.相切
D.相离
【答案】分析:由已知中直线 与圆 的方程,我们易得到圆心到直线距离d的表达式,再由向量 =(2cosα,2sinα),=(3cosβ,3sinβ),若向量 的夹角为60°,我们可以计算出d值,与圆半径比较,即可得到答案.
解答:解:∵圆的方程为
∴圆心坐标为(cosβ,-sinβ),半径为
则圆心到直线 距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+|=|cos(α-β)+|
又∵=(2cosα,2sinα),=(3cosβ,3sinβ),向量 的夹角为60°,
则2×3×cos60°=6cosαcosβ+6sinαsinβ
即cosαcosβ+sinαsinβ=
∴d=|+|=1>
故选D.
点评:此题是个中档题.本题考查的知识点是平面微量的数量积运算,及直线与圆的位置关系,若圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则:①当d<r时,圆与直线相交;②当d=r时,圆与直线相切;③当d>r时,圆与直线相离.
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