【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，已知
，顶点P在平面ABC上的射影为
的外接圆圆心.
（1）证明：平面
平面ABC；
（2）若点M在棱PA上，
，且二面角P-BC-M的余弦值为
，试求
的值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，易知点为
的外接圆圆心，从而
平面
，即可证明平面
平面ABC；
（2）以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面
与平面
的法向量，代入公式即可建立
的方程，解之即可.
（1）证明：如图，设的中点为，连接，
由题意，得
，则为直角三角形，
点为的外接圆圆心．
又点
在平面上的射影为的外接圆圆心，
所以平面，
又
平面
，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以
，
，
，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设平面的法向量为
，
则
得
令
，得
，
，
即
．
设平面的法向量为
，
由
得
令
，得
，
，即
解得
即M为PA的中点．
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【题目】数学老师给出一个函数
，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在
上函数单调递减；乙：在
上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线
对称；丁：
不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的．
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【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知：a5＝2a2+3且a2，
，a14成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设正项数列{bn}满足bn2Sn+1＝Sn+1+2，求证：b1+b2+…+bn＜n+1．
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【题目】某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲参加围棋比赛的概率；
（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
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【题目】根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.
（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
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【题目】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，A1B⊥AC1，设O为AC1与A1C的交点，点P为BC的中点.求证：
（1）OP∥平面ABB1A1；
（2）平面ACC1⊥平面OCP.
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【题目】某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下：
体检次序 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次及以上 |
收费比例 | 1 | 0.95 | 0.90 | 0.85 | 0.8 |
该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：
体检次数 | 一次 | 两次 | 三次 | 四次 | 五次及以上 |
频数 | 60 | 20 | 12 | 4 | 4 |
假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；
（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率．
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【题目】某工厂预购软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
（1）设日收费为
元，每天软件服务的次数为
，试写出两种方案中与的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.
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