Question

【题目】已知椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线与椭圆交于、两点.在轴上是否存在点，使得且，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）椭圆上的点到左焦点的距离最大值为a+c,再结合离心率可得a和c的值，再由可得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用弦长公式求得丨MN丨，由，P在线段MN的中垂线上，利用韦达定理求出中点D的坐标，写出直线PD的方程，令x=0得，平方后即可求得m范围；

（1）由题设条件可得，，

解得，，所以，，

椭圆的标准方程为：

（2）设，，

则整理得：，

则，

则，，

假设存在点满足题意，，

则，

化简整理得，

此时判别式 恒成立，

所以且，

设中点，则，，

由，则在线段的中垂线上.

因为，直线的方程为：，

令，则

∴

∴

∵，∴，∴

∴

∴或.

即：.