Question

2．已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个点，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知中圆C过点P（1，1），且圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称，我们可以求出圆C的方程；
（2）设Q（x，y），则利用M（-2，-2），$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4，可得x²+x+y²+y=0，结合x²+y²=2，即可求点Q的坐标．

解答 解：（1）设圆心C（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}+\frac{b-2}{2}+2=0}\\{\frac{b+2}{a+2}=1}\end{array}\right.$，解得a=0，b=0；
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，故圆C的方程为x²+y²=2；
（2）设Q（x，y），则
∵M（-2，-2），$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{MQ}$=-4，
∴（x-1，y-1）•（x+2，y+2）=-4，
∴x²+x-2+y²+y-2=-4，
∴x²+x+y²+y=0，
∵x²+y²=2，
∴x=-1，y=-1，
∴Q（-1，-1）．

点评 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，关于直线对称的圆的方程，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键．