Question

已知直线L：x+y-9=0和圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为

[3，6]

．

Answer 1

分析：将圆的方程化为（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）²，设A（a，9-a）①当a≠2时，把∠BAC看作AB到AC的角，又点C在圆M，由圆心到AC的距离小于等于圆的半径，求出a的范围．②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线有y-7=x-2，M到它的距离，判断这样点C不在圆M上不成立．

解答：解：圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0方程可化为（x-2）²+（y-2）²=（

34

2

）²，
设A点的横坐标为a．
则纵坐标为9-a；
①当a≠2时，k_AB=

7-a

a-2

，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，
则可得k=

5

2a-9

，
直线AC的方程为y-（9-a）=

5

2a-9

（x-a）
即5x-（2a-9）y-2a²+22a-81=0，
又点C在圆M上，
所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，
即

|5×2-2(2a-9)-2a2+22a-81|

25+(2a-9)2

≤

34

2

，
化简得a²-9a+18≤0，
解得3≤a≤6；
②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y-7=x-2
即x-y+5=0，M到它的距离d=

|2-2+5|

2

=

5 2

2

＞

34

2

，
这样点C不在圆M上，
还有x+y-9=0，显然也不满足条件，
综上：A点的横坐标范围为[3，6]．
故答案为：[3，6]．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，还涉及了直线中的到角公式，点到直线的距离等．