Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆心在坐标原点、半径为1的圆上有P，Q两个动点，它们同时从圆上一点A（1，0）出发，分别以每秒$\frac{π}{4}$和$\frac{π}{6}$的旋转角速度按逆时针方向旋转．设弦PQ的中点为M，记P，Q的运动时间为x秒．
（1）当x=6时，求∠QOM的大小；
（2）当0＜x≤8时，试用x表示线段OM的长度，并求OM长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）当x=6时，P，Q分别在x，y轴的负半轴上，即可求∠QOM的大小；
（2）当0＜x≤8时，∠QOM=$\frac{π}{24}$x，OM=cos$\frac{π}{24}$x，即可求OM长度的最小值．

解答 解：（1）当x=6时，P，Q分别在x，y轴的负半轴上，弦PQ的中点为M，∴∠QOM=$\frac{π}{4}$；
（2）当0＜x≤8时，∠QOM=$\frac{π}{24}$x，∴OM=cos$\frac{π}{24}$x，
∵0＜x≤8，∴0＜$\frac{π}{24}$x≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{24}$x=$\frac{π}{3}$，即x=8时，OM长度的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．