Question

（2013•北京）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

Answer 1

分析：（I）由题意此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，据此即可得到所求概率；
（II）由题意可知X所有可能取值为0，1，2．由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天．①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气；②当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天1不是优良天气1天是优良天气；③当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气根据以上分析即可得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望．
（III）由图判断从3月5天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大．

解答：解：（I）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A．
因为此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，故P（A）=

2

13

．
（II）由题意可知X所有可能取值为0，1，2．
由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天．
①当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故P（X=0）=

5

13

；
②当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故P（X=1）=

4

13

；
③当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故P（X=2）=

4

13

．
故X的分布列为

X	0	1	2
P	5 13	4 13	4 13

∴E（X）=0×

5

13

+1×

4

13

+2×

4

13

=

12

13

．
（III）由图判断从3月5天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大．

点评：本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．