Question

（2012•昌平区一模）已知函数f(x)=lnx+

1

x

+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f（x）的最小值；
（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零

解答：解：（1）a=0时，f′(x)=

x-1

x2

…..（2分）
当0＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）_min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或

1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

，解得：a≤-

1

4

∴a的取值范围是(-∞，-

1

4

]∪[0，+∞)…（14分）

点评：本题以函数为载体，考查导函数，考查函数的单调性，注意分类讨论．