Question

已知点O（0，0），A（2，1），B（1，-3），C（-2，1），t∈R．
（1）若（

AB

-t

OA

）∥

OC

，求t的值；
（2）求|

OC

+t

OB

|的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）首先，写出相应向量的坐标形式，然后，根据共线的条件进行处理；
（2）直接写出

OC

+t

OB

=（-2，1）+t（1，-3）=（-2+t，1-3t），然后，结合向量的模的计算公式，然后转化成二次函数的最值问题进行求解．

解答： 解：∵O（0，0），A（2，1），B（1，-3），C（-2，1），
∴

AB

=(-1，-4)，

OA

=（2，1），

OC

=（-2，1），

OB

=（1，-3），
（1）∵

AB

+t

OA

=（-1，-4）-t（2，1）=（-1-2t，-4-t），
∵（

AB

-t

OA

）∥

OC

，
∴（-1-2t）×1-（-2）×（-4-t）=0，
∴t=-

9

4

，
（2）∵

OC

+t

OB

=（-2，1）+t（1，-3）
=（-2+t，1-3t）
∴|

OC

+t

OB

|=

(2-t)2+(3t-1)2

=

10t2-10t+5

=

10(t- 1 2 )2+ 5 2

∴|

OC

+t

OB

|的最小值

10

2

．

点评：本题重点考查了平面向量的坐标运算、向量的模的计算等知识，属于中档题．