Question

【题目】微信运动和运动手环的普及，增强了人民运动的积极性，每天一万步称为一种健康时尚，某中学在全校范围内内积极倡导和督促师生开展“每天一万步”活动，经过几个月的扎实落地工作后，学校想了解全校师生每天一万步的情况，学校界定一人一天走路不足4千步为不健康生活方式，不少于16千步为超健康生活方式者，其他为一般生活方式者，学校委托数学组调查，数学组采用分层抽样的办法去估计全校师生的情况，结合实际及便于分层抽样，认定全校教师人数为200人，高一学生人数为700人，高二学生人数600人，高三学生人数500，从中抽取n人作为调查对象，得到了如图所示的这n人的频率分布直方图，这n人中有20人被学校界定为不健康生活方式者．
（1）求这次作为抽样调查对象的教师人数；
（2）根据频率分布直方图估算全校师生每人一天走路步数的中位数（四舍五入精确到整数步）；
（3）校办公室欲从全校师生中速记抽取3人作为“每天一万步”活动的慰问对象，计划学校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓励0元，超健康生活方式者表彰奖励20元，一般生活方式者鼓励性奖励10元，利用样本估计总体，将频率视为概率，求这次校办公室慰问奖励金额X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由频率分布直方图知[0，4）的频率为0.05×4=0.2，于是 ，

由分层抽样的原理知这次作为抽样调查对象的教师人数为 人．

（2）解：由频率分布直方图知[0，4）的频率为0.2，[4，8）的频率为0.25，[8，12）的频率为0.3，

设中位数为x，则0.2+0.25+（x﹣8）×0.075=0.5，于是 （千步）；

（3）解：有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为0.2，超健康生活方式者的概率为0.1，

一般生活方式者的概率为0.7，0≤X≤60，X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，

则 ， ，

， ，

P（X=60）=0.13=0.001．

X	0	10	20	30	40	50	60
P	0.008	0.084	0.306	0.427	0.153	0.021	0.001

E（X）=0×0.008+10×0.084+20×0.306+30×0.427+40×0.153+50×0.021+60×0.001=27（元）

所以这次校办公室慰问奖励金额X的数学期望为27元．

【解析】（1）利用频率分布直方图的性质与分层抽样的原理即可得出．（2）利用频率分布直方图的性质与中位数的定义即可得出．（3）有频率分布直方图知不健康生活方式者概率为0.2，超健康生活方式者的概率为0.1，一般生活方式者的概率为0.7，0≤X≤60，X的可能取值为0，10，20，30，40，50，60，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息，以及对离散型随机变量及其分布列的理解，了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．