Question

【题目】已知F1 ， F2分别为椭圆C1： （a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|= ．
（1）试求椭圆C1的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足 ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令M为（x0，y0），因为M在抛物线C2上，故x02=4y0，①

又|MF1|= ，则y0+1= ，②

由①②解得x0=﹣ ，y0=

椭圆C1的两个焦点为F1（0，1），F2（0，﹣1），

点M在椭圆上，由椭圆定义，得

2a=|MF1|+|MF2|= =4

∴a=2，又c=1，

∴b2=a2﹣c2=3

∴椭圆C1的方程为 ．

（2）解：∵直线l：y=k（x+t）与圆x2+（y+1）2=1相切

∴ =1，即k= （t≠0，t±1）

把y=k（x+t）代入 并整理得：

（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有

x1+x2= ，y1+y2=k（x1+x2）+2kt=

∵ =（x1+x2，y1+y2）

∴P（ ， ）

又∵点P在椭圆上

∴ + =1

∴λ2= = （t≠0）

∵t2＞0，t2≠1，

∴ ＞1且 ≠3，

∴0＜λ2＜4且λ2≠

∴λ的取值范围为（﹣2，﹣ ）∪（﹣ ，0）∪（0， ）∪（ ，2）

【解析】（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k= ，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足 ，可得到λ2的表达式，进而求出实数λ的取值范围