Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC，∠ABC=90°，D为AC中点．
（1）求证：BD⊥AC₁；
（2）若AB=

2

，AA₁=2

3

，求AC₁与平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）先根据AA₁⊥平面ABC证得AA₁⊥BD；再结合AB=BC，D为AC中点得到AC⊥BD；两个结论相结合即可得BD⊥平面ACC₁ A₁进而得到结论；
（2）根据AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥平面ABC，进而得到AC₁与平面ABC所成的角为∠C₁AC；然后在RT△C₁CA中求出∠C₁AC即可得到结论．

解答：解：（1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BD
又∵AB=BC，D为AC中点，∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁ A₁
∴BD⊥AC₁…（4分）
（2）∵AA₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥平面ABC
∴AC₁与平面ABC所成的角为∠C₁AC
∵AB=BC，∠ABC=90°，AB=

2

，∴AC=2
又AA₁=2

3

，∴CC₁=2

3

∴tan∠C₁AC=

CC1

AC

=

2 3

2

=

3

，
∴∠C₁AC=60°．
即AC₁与平面ABC所成的角为60°…（8分）

点评：本题主要考查直线与平面所成的角以及直线和直线垂直的判定．一般在证明线线垂直时，先证明线面垂直；而在证明线面垂直时，先证明线线垂直．