Question

9．已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x，g（x）=（x²-2）e^x+2．
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y=2ex+b，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，即可求出切线的斜率，故求出a，b的值；
（2）需要分两种情况讨论，单调递增和单调递减，采用分离参数法，求出参数的最值即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x  
由题意：f′（1）=（4-a）e=2e，
解得：a=2，
∴f（x）=（x²-1）e^x    
又f（1）=0=2e+b，
∴b=-2e；   
（2）若函数f（x）在[-3，1]上是单调递增函数，
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≥0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≥0，
∴a≤x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≤0，
若函数f（x）在[-3，1]上是单调递减函数，
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≤0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≤0，
a≥x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≥4，
综上，若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，
则a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线，同时考查了利用导数研究函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．