Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）经过点（ ，﹣ ），且椭圆的离心率e= ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A，C及B，D，设线段AC，BD的中点分别为P，Q．求证：直线PQ恒过一个定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，

即a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2． …

由椭圆过点 知， ． …

联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3． …

故椭圆的方程是 ．…

（2）证明：直线PQ恒过一个定点 ．…

椭圆的右焦点为F（1，0），分两种情况．

1°当直线AC的斜率不存在时，

AC：x=1，则 BD：y=0．由椭圆的通径得P（1，0），

又Q（0，0），此时直线PQ恒过一个定点 ．…

2°当直线AC的斜率存在时，设AC：y=k（x﹣1）（k≠0），

则 BD： ．

又设点A（x1，y1），C（x2，y2）．

联立方程组 ，

消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…

所以 ． ． ．…

由题知，直线BD的斜率为﹣ ，

同理可得点 ．…

．

，…

即4yk2+（7x﹣4）k﹣4y=0．

令4y=0，7x﹣4=0，﹣4y=0，解得 ．

故直线PQ恒过一个定点 ；…

综上可知，直线PQ恒过一个定点 ．…

【解析】（1）由离心率可得a与c的关系，过点可得a与b的关系，再根据，即可得出椭圆方程；（2）当斜率不存在时，得出此时过定点，当斜率存在时，根据点斜式设出两相互垂直的直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可得P、Q的坐标，再得出PQ所在直线方程，经检验PQ过点。