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数列的前项和为,且
(1)写出的递推关系式,并求,,的值;
(2)猜想关于的表达式,并用数学归纳法证明.

(1)
(2)猜想,用数学归纳法证明:

解析试题分析:(1)由得:
, .
可得
(2)由(1)可猜想,下面用数学归纳法证明:
(i) 当时,,猜想成立.
(ii)假设当时,成立,
则当时,

故当时,,猜想成立.
由(i)(ii)可得,对一切正整数都成立. 关于的表达式为.
考点:本题主要考查归纳推理及数学归纳法。
点评:中档题,在高考命题中,单独考查数学归纳法已不多见,但”归纳、猜想、证明”的思想方法,确实是一种重要的方法,因此,应注意熟练掌握。

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知等比数列的前项和为,且成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列是一个首项为,公差为的等差数列,求数列的前项和.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设数列的前项和为,若对于任意的正整数都有
(1)设,求证:数列是等比数列,并求出的通项公式;
(2)求数列的前项和

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,为正整数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)数列的通项公式为(),求数列的前项和;
(Ⅲ)设数列满足:,,设,若(Ⅱ)中的满足:对任意不小于3的正整数n,恒成立,试求m的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知,数列满足,数列满足;又知数列中,,且对任意正整数.
(Ⅰ)求数列和数列的通项公式;
(Ⅱ)将数列中的第项,第项,第项,……,第项,……删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前项和.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设正项数列都是等差数列,且公差相等,(1)求的通项公式;(2)若的前三项,记数列数列的前n项和为

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知数列的前项和,数列满足
(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和;
(3)求证:不论取何正整数,不等式恒成立

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知数列的前n项和(n为正整数)。
(Ⅰ)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)令试比较的大小,并予以证明。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分13分)设数列为单调递增的等差数列依次成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)若求数列的前项和
(Ⅲ)若,求证:

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