Question

设函数f(x)=lg(

2

x+1

-1)的定义域为集合A，函数g(x)=

1-a2-2ax-x2

的定义域为集合B．
（1）求证：函数f（x）的图象关于原点成中心对称．
（2）a≥2是A∩B=Φ的什么条件（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由

2

x+1

-1＞0，可求得A=（-1，1），f（x）的定义域关于原点对称，利用奇函数的定义可判断f（-x）=-f（x）；
（2）由于B=[-1-a，1-a]，当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1，可证得A∩B=∅，反之，可取-a-1=2，求得a=-3，于是得到答案．

解答：证明：（1）∵

2

x+1

-1＞0，
∴

x-1

x+1

＜0，…（1分）
∴-1＜x＜1…（3分）
∴A=（-1，1），
故f（x）的定义域关于原点对称…（4分）
又f（x）=lg

1-x

x+1

，则 f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg(

1-x

x+1

)-1=-lg

1-x

x+1

，…（6分）
∴f（x）是奇函数．
即函数f（x）的图象关于原点成中心对称…（7分）
（2）∵B={x|x²+2ax-1+a²≤0}，
∴-1-a≤x≤1-a，即B=[-1-a，1-a]…（9分）
当a≥2时，-1-a≤-3，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅…（10分）
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，则a=-3，a小于2…（11分）
所以，a≥2是A∩B=∅的充分非必要条件…（12分）

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查对数函数的定义域，函数的奇偶性，着重考查学生综合分析问题、解决问题的能力，属于难题．