Question

已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值与最大值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的余弦函数公式变形，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的单调区间，即可求出最大值与最小值．

解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1=cos2x-sin2x+2=

2

cos（2x+

π

4

）+2，
∵ω=2，∴函数f（x）的最小正周期为T=π；
（2）∵x∈[

π

8

，

3π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

2

，

7π

4

]，
∵余弦函数在[

π

2

，π]上为减函数，（π，

7π

4

]上为增函数，
∴f（x）在区间[

π

8

，

3π

8

]上是减函数，在区间（

3π

8

，

3π

4

]上是增函数，且f（

π

8

）=2，f（

3π

8

）=2-

2

，f（

3π

4

）=3，
∴函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

8

]上的最大值为3，最小值为2-

2

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．