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    【题目】已知关于的方程有两个不同的实数根、.

    （Ⅰ）求实数的取值范围；

    （Ⅱ）求证：.

    【答案】（I）；（II）证明见解析.

    【解析】

    试题分析：（1）方程有两个不同的实数根、，等价于有两个不等根，对函数求导，使得函数的图象与有两个不同的交点即可;(2) 证，只需证，需证，构造函数证明大于0.

    解析：

    （Ⅰ）∵，∴.令，

    则 ，

    令，解得，令，解得，

    则函数在上单调递增，在上单调递减，

    ∴；

    又当时，，当时，，

    画出函数的图象.

    要使函数的图象与有两个不同的交点，

    则，即实数的取值范围为.

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，不妨设，则，.

    要证，只需证.

    ∵，且函数在上单调递减，

    ∴只需证，又，∴只需证，

    即证，即证对恒成立.

    令，，则，

    ∵，∴，∴恒成立，

    则函数在上单调递减，∴.

    综上所述，.

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