【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1 , D为棱A1B1上的点.
(1)证明:DF⊥AE;
(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ?若存在,说明点D的位置,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB,
又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面A1ACC1,
又∵AC面A1ACC1,∴AB⊥AC,
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz,
则有A(0,0,0),E(0,1, ),F( , ,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),
设D(x,y,z), 且λ∈[0,1],即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0),
则 D(λ,0,1),所以 =( , ,﹣1),
∵ =(0,1, ),∴ = =0,所以DF⊥AE
(2)结论:存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 .
理由如下:
设面DEF的法向量为 =(x,y,z),则 ,
∵ =( , , ), =( ,﹣1),
∴ ,即 ,
令z=2(1﹣λ),则 =(3,1+2λ,2(1﹣λ)).
由题可知面ABC的法向量 =(0,0,1),
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ,
∴|cos< , >|= = ,即 = ,
解得 或 (舍),所以当D为A1B1中点时满足要求.
【解析】(1)先证明AB⊥AC,然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,则能写出各点坐标,由 与 共线可得D(λ,0,1),所以 =0,即DF⊥AE;(2)通过计算,面DEF的法向量为 可写成 =(3,1+2λ,2(1﹣λ)),又面ABC的法向量 =(0,0,1),令|cos< , >|= ,解出λ的值即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行.
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【题目】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 万元,此外每生产 件该产品还需要增加投资 万元,年产量为 件.当 时,年销售总收入为 万元;当 时,年销售总收入为 万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 万元。
(1)求 (万元)关于 (件)的函数关系式;
(2)该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?并求出最大值.(年利润=年销售总收入年总投资)
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【题目】已知全集U=R,集合A={x∈R|2x﹣3≥0},B={x|1<x<2},C={x∈N|1≤x<a}.
(Ⅰ)求A∪B;
(Ⅱ)若C中恰有五个元素,求整数a的值;
(Ⅲ)若A∩C=,求实数a的取值范围.
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【题目】已知命题p:“1≤x≤5是x2﹣(a+1)x+a≤0的充分不必要条件”,命题q:“满足AC=6,BC=a,∠CAB=30°的△ABC有两个”.若¬p∧q是真命题,求实数a的取值范围.
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【题目】某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开了三个班.选课结束后,有四名选修英语的同学要求改修数学,但数学选修每班至多可再接收两名同学,那么安排好这四名同学的方案有( )
A.72种
B.54种
C.36种
D.18种
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【题目】已知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,g(x)=﹣f(|x|),若g(lgx)>g(1),则x的取值范围是( )
A.(0,10)
B.(10,+∞)
C.
D.
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【题目】在数列{an}中,a1+2a2++22a3+…2n﹣1an=(n2n﹣2n+1)t对任意n∈N*成立,其中常数t>0.若关于n的不等式 + + +…+ > 的解集为{n|n≥4,n∈N*},则实数m的取值范围是 .
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