Question

【题目】已知函数f(x)＝|x＋4|－|x－1|.

(1)解不等式f(x)＞3；

(2)若不等式f(x)＋1≤4a－5×2a有解，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）{x|x＞0}.（2）(－∞，0]∪[2，＋∞).

【解析】

（Ⅰ）由题意可得f（x）的分段函数，分类讨论，求得不等式f（x）＞3的解集．

（Ⅱ）根据题意可得f（x）的最小值为﹣5，可得4a﹣5×2a﹣1≥﹣5，由此求得实数a的取值范围．

(1)f(x)＝

当x≤－4时，无解；

当－4＜x＜1时，由2x＋3＞3，

解得0＜x＜1；

当x≥1时，5＞3恒成立，

故原不等式的解集为{x|x＞0}.

(2)将f(x)＋1≤4a－5×2a，即f(x)≤4a－5×2a－1有解，转化为f(x)min≤4a－5×2a－1.

易知f(x)的最小值为－5，

∴4a－5×2a－1≥－5，

即4a－5×2a＋4≥0，

即2a≥4或2a≤1，∴a≥2或a≤0，

故实数a的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞).