Question

（I）已知|

a

|=2，|

b

|=3，

a

与

b

的夹角是

π

3

，求实数k，使得5

a

+3

b

与3

a

+k

b

垂直．
（II）若0＜α＜π，sinα+cosα=

1

5

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（I）由已知的两向量垂直，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则计算后，将已知的

a

与

b

的模及夹角代入，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（II）将已知的等式sinα+cosα=

1

5

两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，得到2sinαcosα的值小于0，可得sinα大于0，cosα小于0，再利用完全平方公式求出（sinα-cosα）²的值，开方得到sinα-cosα的值，与sinα+cosα的值联立求出sinα和cosα的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，即可求出tanα的值．

解答：解：（I）∵5

a

+3

b

与3

a

+k

b

垂直，

a

与

b

的夹角是

π

3

，
∴（5

a

+3

b

）•（3

a

+k

b

）=0，
即15|

a

|²+（5k+9）|

a

|•|

b

|cos

π

3

+3k|

b

|²=0，
又|

a

|=2，|

b

|=3，
∴60+3（5k+9）+27k=0，即42k=-87，解得：k=-

87

42

；
（II）把sinα+cosα=

1

5

①两边平方得：
sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=-

24

25

＜0，又0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，
则（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=

49

25

，
∴sinα-cosα=

7

5

②，
联立①②解得：sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，
则tanα=-

4

3

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，以及两向量垂直时满足的关系，熟练掌握法则及基本关系是解本题的关键，同时注意判断sinα与cosα的正负．