Question

2．已知在平而直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρ=\frac{a}{cosθ-2sinθ}$（a为非零常数）．
（I）求曲线C和直线l的普通方程：
（Ⅱ）若曲线C上有且只有三个点到直线1的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C中消去参数能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程．
（2）设曲线C上的点P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），求出P到直线l的距离，利用三角函数性质能求出实数a的值．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$，（α为参数），
∴曲线C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∵直线l的极坐标方程为$ρ=\frac{a}{cosθ-2sinθ}$（a为非零常数），
∴直线l的直角坐标方程为x-2y-a=0．
（2）设曲线C上的点P（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），
则P到直线l的距离：d=$\frac{|2cosα-2\sqrt{3}sinα-a|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$|4sin（$α+\frac{5π}{6}$）-a|，
∵曲线C上有且只有三个点到直线1的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴|4sin（$α+\frac{5π}{6}$）-a|=3，
当4sin（$α+\frac{5π}{6}$）=4时，a=1或a=7；当4sin（$α+\frac{5π}{6}$）=-4时，a=-1或-7．
∴实数a=±1或a=±7（舍去）．

点评 本题考查曲线和直线的直角坐标方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．