【题目】如图,在四棱锥中, 、、均为等边三角形, .
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得,结合筝形的性质可得,进一步证得,结合线面垂直的判断定理和性质可得平面,则.最后利用线面垂直的判断定理可得平面.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系,结合题意可得,平面的法向量为,据此计算可得与平面所成角的正弦值为.
试题解析:
(Ⅰ)因为, , 为公共边,
所以,
所以,又,
所以,且为中点.
又,所以,
又,所以,结合,
可得,
所以,
即,又,
故平面,又平面,所以.
又,所以平面.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
不妨设,易得, ,
则, , , ,
所以, , ,
设平面的法向量为,则
,即,解得,
令得,
设直线与平面所成角为,则
,
所以与平面所成角的正弦值为.
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【题目】下列命题:
①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.
其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的右顶点与上顶点分别为,椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,若直线与该椭圆交于两点,直线的斜率互为相反数.
①求证:直线的斜率为定值;
②若点在第一象限,设与的面积分别为,求的最大值.
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【题目】已知函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),f(x+8)=f(x),且当x∈(0,4]时f(x)= ,关于x的不等式f2(x)+af(x)>0在[﹣2016,2016]上有且只有2016个整数解,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣ ln6,ln2]
B.(﹣ln2,﹣ ln6)
C.(﹣ln2,﹣ ln6]
D.(﹣ ln6,ln2)
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,对称轴是轴,且过点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知斜率为的直线交轴于点,且与曲线相切于点,点在曲线上,且直线轴, 关于点的对称点为,判断点是否共线,并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1()的最小正周期为π,且.
(1)求ω和φ的值;
(2)函数f(x)的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,
①求函数g(x)的单调增区间;
②求函数g(x)在的最大值.
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【题目】已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,半径小于5.
(Ⅰ)求直线PQ与圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l∥PQ,直线l与圆C交于点A,B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.
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【题目】如图1,平行四边形ABCD中,AB=2AD,∠DAB=60°,M是BC的中点.将△ADM沿DM折起,使面ADM⊥面MBCD,N是CD的中点,图2所示.
(Ⅰ)求证:CM⊥平面ADM;
(Ⅱ)若P是棱AB上的动点,当 为何值时,二面角P﹣MC﹣B的大小为60°.
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【题目】对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定义函数f(x)=x﹣[x],则下列命题中正确的是
①函数f(x)的最大值为1; ②函数f(x)的最小值为0;
③方程有无数个根; ④函数f(x)是增函数.
A. ②③ B. ①②③ C. ② D. ③④
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