Question

12．在xOy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）对每个正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的圆P_n与H轴都相切，且圆P_n与圆P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是等差数列
（2）设圆P_n的面积为S_n，T_n=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$+…+$\sqrt{{S}_{n}}$，求证：T_n＜$\frac{3\sqrt{π}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）依题意，⊙P_n的半径${r_n}={y_n}={x_n}^2$，由于⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切，可得|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1，$\sqrt{{{（{x_n}-{x_{n+1}}）}^2}+{{（{y_n}-{y_{n+1}}）}^2}}={y_n}+{y_{n+1}}$．化简整理利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得${x}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，可得S_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：依题意，⊙P_n的半径${r_n}={y_n}={x_n}^2$，
∵⊙P_n与⊙P_n+1彼此外切，
∴|P_nP_n+1|=r_n+r_n+1，∴$\sqrt{{{（{x_n}-{x_{n+1}}）}^2}+{{（{y_n}-{y_{n+1}}）}^2}}={y_n}+{y_{n+1}}$．
两边平方，化简得${（{x_n}-{x_{n+1}}）^2}=4{y_n}{y_{n+1}}$，即${（{x_n}-{x_{n+1}}）^2}=4x_n^2x_{n+1}^2$．
∵x_n＞x_n+1＞0，∴x_n-x_n+1=2x_nx_n+1，$⇒\frac{1}{{{x_{n+1}}}}-\frac{1}{x_n}=2（n∈{N_+}）$．
∴数列$\left\{{\frac{1}{x_n}}\right\}$是等差数列． 
（2）解：由题设，x₁=1，∴$\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_1}+（n-1）•2⇒{x_n}=\frac{1}{2n-1}$．
${S_n}=π{r_n}^2=π{y_n}^2=π{x_n}^4=\frac{π}{{{{（2n-1）}^4}}}$．
${T_n}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+…+\sqrt{S_n}$
=$\sqrt{π}[{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+…+\frac{1}{{{{（2n-1）}^2}}}}]$≤$\sqrt{π}[{1+\frac{1}{1•3}+\frac{1}{3•5}+…+\frac{1}{（2n-3）•（2n-1）}}]$
=$\sqrt{π}\left\{{1+\frac{1}{2}[{（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）}]}\right\}$
=$\sqrt{π}[{1+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n-1}）}]$
=$\frac{{3\sqrt{π}}}{2}-\frac{{\sqrt{π}}}{2（2n-1）}＜\frac{{3\sqrt{π}}}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、圆的性质及其面积计算公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．