Question

【题目】在的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一块由4个方格构成的区域，其中由至少3个方格被染成红色.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先，考察的方格表.

如图，设第一行有个方格被染成红色，第2行有个方格被染成红色.

下面证明：若，则必存在一块由4个方格构成的区域，其中有至少3个方格被染成红色，若，则只有唯一的情形（如图）能够使得不存在由4个方格构成的区域，其中至少3个方格被染成红色.

将方格表从左向右分成4个方格和一个区域.若不存在至少3个方格被染成红色的区域.则前4个方格中每个中至多有两个方格被染成红色，于是，总的红色方格数不超过，矛盾.

故当时，结论成立.

当时，必存在某一列的和同时被染成红色.为保证不存在区域中至少3个方格不被染成红色，则要求和、和不被染成红色，显然，只有图中的情形满足.

再回到本题.

假设存在某种染色方案使得方格表中不存在有至少3个方格被染成红色的区域.

若该方案中存在相邻的两行（第行和第行）满足，则必有.若为奇数，则沿第行将方格表分成上、下两部分，上面有偶数行，下面也有偶数行，由前面的结论知，剩下的8行中至多有个方格被染成红色.于是，总的红色方格数不超过.若为偶数，则沿第行划分，有相同的结论.

若任意相邻两行的红色方格数之和均不等于10，则

.

因此，无论如何染色，要使方格表中不存在有至少3个方格被染成红色的区域，最多只能有45个方格被染成红色，与题设矛盾.

综上所述，必存在一块由4个方格构成的区域，其中有至少3个方格被染成红色.