Question

已知两个实数集合A={a₁，a₂，…，a₁₀₀}，B={b₁，b₂，…，b₅₀}，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f（ a₁）≤f（a₂）≤…≤f（a₁₀₀），这样的映射共有________个．（用符号作答）．

Answer 1

C₉₉⁹⁹
分析：本题直接考虑集合A中每一个元素在B中的象的情况非常困难．注意到集合B中每个元素都有原象，即A中有50“组”元素分别与B中的50个元素对应；现将集合A中的100个元素按原有的顺序分成50组，每组至少一个元素；将集合B中的元素按从小到大的顺序排列为B={b₁′，b₂′，，b₅₀′}；∵f（a₁）≤f（a₂）≤≤f（a₁₀₀），∴A中的“第1组”元素的象为b₁′，“第2组”元素的象为b₂′，，“第50组”元素的象为b₅₀′，此处没有排列的问题，即只要A中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而A中元素的分组可视为在由这100个元素所形成的99个“空”中插上49块“挡板”，所以有C₉₉⁴⁹种分法，即映射共有C₉₉⁹⁹个．
解答：本题直接考虑集合A中每一个元素在B中的象的情况非常困难．
注意到集合B中每个元素都有原象，即A中有50“组”元素分别与B中的50个元素对应；现将集合A中的100个元素按原有的顺序分成50组，每组至少一个元素；将集合B中的元素按从小到大的顺序排列为B={b₁′，b₂′，，b₅₀′}；
∵f（a₁）≤f（a₂）≤≤f（a₁₀₀），
∴A中的“第1组”元素的象为b₁′，“第2组”元素的象为b₂′，，“第50组”元素的象为b₅₀′，此处没有排列的问题，即只要A中元素的分组确定了，映射也就随之确定了；而A中元素的分组可视为在由这100个元素所形成的99个“空”中插上49块“挡板”，所以有C₉₉⁴⁹种分法，即映射共有C₉₉⁹⁹个．
点评：本题考查了映射的知识，关键为逆向思维，B中50个元素对应A中50组数据，即在99个空位中用49个挡板隔开．