Question

已知方程x²+y²+x-6y+m=0，
（1）若此方程表示的曲线是圆C，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆C与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为原点），求圆C的方程；  
（3）在（2）的条件下，过点（-2，4）作直线与圆C交于M，N两点，若|MN|=4，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（1）把方程x²+y²+x-6y+m=0化为圆的标准方程为  (x+

1

2

)2+(y-3)2= 

37

4

-m，故有

37

4

-m＞0，由此解得
m的范围．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∵OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0 ①，把直线x+2y-3=0代入圆的方程化简，利用根
与系数的关系可得y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

，代入①求得m的值，即可得到圆C的方程．
（3）当直线MN垂直x轴时，直线MN的方程为：x=2，满足|MN|=4．当直线MN不垂直x轴时，设直线MN的方程为：
y-4=k（x+2），代入圆的方程利用根与系数的关系求得x₃+x₄和x₃•x₄的值，由弦长公式可得 4=

k2+1

•|x3 -x4|，
求出k的值，即可得到直线MN的方程．

解答：解：（1）方程x²+y²+x-6y+m=0即 (x+

1

2

)2+(y-3)2= 

37

4

-m，∴

37

4

-m＞0，解得 m＜

37

4

．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．∵OP⊥OQ，故 x₁•x₂+y₁•y₂=0  ①．
由

x2+y2+x-6y+m=0  x+ 2y -3=0

得 5y²-20y+12+m=0，∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=

12+m

5

．
∴x₁•x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁•y₂．
代入①可得5y₁•y₂-6（y₁+y₂）+9=0，解得m=3，满足△＞0．
圆C的方程为：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

25

4

．
（3）当直线MN垂直x轴时，直线MN的方程为：x=2，此时，直线MN与圆的焦点分别为（-2，1）和（-2，5），
满足|MN|=4．
当直线MN不垂直x轴时，设直线MN斜率为k，直线MN的方程为：y-4=k（x+2），即 kx-y+2k+4=0．
把直线MN的方程代入圆的方程化简可得（ k²+1）x²+（4k²+2k+1）x+（k²+4k-5）=0．
故 x₃+x₄=-

4k2+2k+1

k2+1

，x₃•x₄=

k2+4k-5

k2+1

．
由弦长公式可得 4=

k2+1

•|x3 -x4|=

k2+1

•

(x3 +x4)2-4x3 •x4

，
解得k=

5

12

，
故所求的直线MN的方程为 5x-12y=58=0．

点评：本题主要考查二元二次方程表示圆的条件，圆的标准方程，直线和圆的位置关系以及弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．