Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e=

2

2

时，求椭圆长轴的长．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率公式求出椭圆中的参数a，利用椭圆中三个参数的关系求出b，代入椭圆的方程求出椭圆的标准方程．
（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理求出两个交点的横、纵坐标之积；利用向量垂直的充要条件，得到椭圆的三个参数的一个等式，再利用椭圆的三个参数本身的关系得到参数a与离心率的关系，利用离心率得到椭圆的长轴长．

解答：解：（1）∵e=

3

3

，即

c

a

=

3

3

．又2c=2，解得a=

3

，
则b=

a2-c2

=

2

．
（2）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得（a²+b²）•x²-2a²x+a²•（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
设A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2(1-b2)

a2+b2

．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴

a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+

1

1-e2

，
∴a²=

1

2

（1+

1

1-e2

）．
∵e=

2

2

，∴

1

2

（1+

1

1-e2

）=

1

2

，
∴a=

6

2

，
由此得 椭圆长轴的长

6

．

点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．