【题目】设为的三边,求证:方程与有公共根的充要条件是.
【答案】证明见解析
【解析】
证充分性,即需解出公共根;证必要性,则先设公共根,解得a2=b2+c2.
充分性:∵∠A=90°,
∴a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
∴x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
∴该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,∴该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以发现,x1=x3,
∴方程有公共根.
必要性:设x是方程的公共根,则
由①+②,得x=-(a+c),x=0(舍去).代入①并整理,可得a2=b2+c2.∴∠A=90°.
综上,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°
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【题目】某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的部分只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:
日需求量x(个) | 20 | 30 | 40 | 50 |
天数 | 5 | 10 | 10 | 5 |
(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率.
(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量的分布列,并求该月的日需求量的期望.
(3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值为;现有员工建议扩大生产一天45个,求利用利润的期望值判断此建议该不该被采纳.
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【题目】如图,已知点是圆心为半径为的半圆弧上从点数起的第一个三等分点,点是圆心为半径为的半圆弧的中点,、分别是两个半圆的直径,,直线与两个半圆所在的平面均垂直,直线、共面.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与所成角的余弦值.
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【题目】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆相交于两点且.求证: 的面积为定值.
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【题目】极坐标与参数方程
已知曲线:(为参数),:(为参数).
(1)将、的方程化为普通方程;
(2)若与交于M、N,与x轴交于P,求的最小值及相应的值.
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【题目】《九章算术》中有如下问题:今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.若蒲、莞长度相等,则所需时间为()
(结果精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771.)
A.2.6天B.2.2天C.2.4天D.2.8天
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【题目】下列四种说法中:
①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
②相等的线段在直观图中仍然相等
③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
④用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
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