Question

某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足P（x）=1+

k

x

（k为正常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如下表所示：

（天）	10	20	25	30
（件）	110	120	125	120

已知第10天的日销售收入为121（百元）．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）给出以下三种函数模型①Q（x）=ax+b，②Q（x）=a|x-25|+b，③Q（x）=a•b^x，其中a≠0，b＞0且b≠1．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式；
（Ⅲ）x取何值时，该服装的日销售收入为121百元？（1≤x≤30，x∈N）

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）通过f（10）=P（10）•Q（10），即可求k的值；
（Ⅱ）通过日销售量有增有减并不单调，判断函数模型找出最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，利用点的坐标适合方程，求出该函数的解析式；
（Ⅲ）利用分段函数，通过基本不等式，以及函数的单调性，求出x的值，服装的日销售收入为121百元．

解答： 解：（Ⅰ）依题意有：f（10）=P（10）•Q（10），
即(1+

k

10

)×110=121，所以k=1．        …（2分）
（Ⅱ）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，（或根据Q（20）=Q（30）），故只能选②．Q（x）=a|x-25|+b． …（4分）
从表中任意取两组值代入可求得：a=-1，b=125，
得Q（x）=-|x-25|+125=125-|x-25|． …（6分）
（Ⅲ）∵Q(x)=125-|x-25|=

100+x，(1≤x＜25) 150-x．(25≤x≤30)

，所以日销售收入：f(x)=

x+ 100 x +101，(1≤x＜25) 150 x -x+149．(25≤x≤30)

．…（8分）
①当1≤x＜25时，令x+

100

x

+101=121，解得x=10；…（10分）
②当25≤x≤30时，

150

x

-x为减函数，
所以，当x=30时，f（x）_min=124（百元）．
由于124＞121，故当25≤x≤30时，日销售收入不可能为121百元．…（13分）
综上所述：当x=10时，该服装的日销售收入为121百元．…（14分）

点评：本题考查函数与方程的综合应用，实际问题性质函数的模型，考查分析问题解决问题的能力．