Question

12．已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；q：函数y=（m²-3）^x是增函数，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值；
（Ⅱ）先求出p真q真的m的范围，再由“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
当（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2时，取得等号，
即函数f（x）的最小值为1；
（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立，
即有1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1；
函数y=（m²-3）^x是增函数，即有m²-3＞1，解得m＞2或m＜-2．
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞1或m＜-3}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得-2≤m≤1或m＞2或m＜-3．

点评 本题考查绝对值函数的最值的求法，考查复合命题的真假判断以及函数恒成立思想和指数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．