Question

对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，设f（x）=（2x-1）﹡x，且关于x 的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是

（

5

2

，2+

2

2

）

．

Answer 1

分析：由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x₁+x₂+x₃的取值范围．

解答：解：∵a﹡b=

a2-ab，a≤b b2-ab，a＞b

，
∴f（x）=（2x-1）﹡x=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

，
作出函数的图象可得，
要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，需m∈（-

1

4

，0）
令-x2+x=-

1

4

，解之可得x=

1+ 2

2

，或x=

1- 2

2

（舍去）
不妨令x₁＜x₂＜x₃，由二次函数的对称性可得x₁+x₂=

3

2

，1＜x₃＜

1+ 2

2

，
∴

5

2

＜x₁+x₂+x₃＜2+

2

2

，
故x₁+x₂+x₃的取值范围是（

5

2

，2+

2

2

）
故答案为：（

5

2

，2+

2

2

）

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键，属中档题．