Question

19．设p：|2x+1|＞a，q：$\frac{x-1}{2x-1}$＞0，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，若存在求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 先化简命题p，通过解分式不等式化简命题q，将p是q的必要不充分条件转化为$\frac{x-1}{2x-1}$＞0的解集是|2x+1|＞a的解集的子集，根据集合的包含关系，分类讨论a的范围，综合可得答案．

解答 解：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B=$\{x|x＞1或x＜\frac{1}{2}\}$，
若p是q的必要不充分条件，即q⇒p，则B?A，…..（3分），
对于命题p：当a＜0时有x∈R，显然B?A成立，…..（5分）
当a≥0时，$A=\{x|x＞\frac{a-1}{2}或x＜-\frac{a+1}{2}\}$
若B?A则$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\-\frac{a+1}{2}≥\frac{1}{2}\\ \frac{a-1}{2}≤1\end{array}\right.⇒a∈∅$…．（9分）
综上可知a＜0…．（10分）．

点评 判断一个命题是另一个命题的什么条件问题，应该先化简各个命题，然后再进行判断，若命题中是数集，常转化为集合的包含关系来解决，本题是一个易错题．