Question

（2008•佛山二模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象上一个最高点的坐标为(

π

12

，3)，与之相邻的一个最低点的坐标为(

7π

12

，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）在x=

π

6

处的切线方程．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数周期的公式，算得ω=2．由图象上的最大、最小值的点组成方程组，解出A=2，B=1．最后根据函数的最大值点代入，结合|?|＜

π

2

可得φ=

π

3

，从而得出f（x）的表达式；
（II）由导数的运算公式与法则，得所求切线的斜率k=f′(

π

6

)=-2，而当x=

π

6

时函数值f(

π

6

)=

3

+1，利用直线的点斜式方程列式，化简整理即可得到f（x）在x=

π

6

处的切线方程．

解答：解：（Ⅰ）依题意，得

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，所以T=π，
∴ω=

2π

T

=2…（1分）
又∵

A+B=3 -A+B=-1

，∴解之得

A=2 B=1

…（3分）
再把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，
可得sin(

π

6

+?)=1，所以

π

6

+?=2kπ+

π

2

（k∈Z），
所以?=2kπ+

π

3

，
因为|?|＜

π

2

，所以取k=0得?=

π

3

…（5分）
综上所述，f（x）的表达式为：f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）的导数为f′(x)=4cos(2x+

π

3

)…（8分）
∴所求切线的斜率k=f′(

π

6

)=4cos(2×

π

6

+

π

3

)=4cos

2π

3

=-2…（9分）
而f(

π

6

)=2sin(2×

π

6

+

π

3

)+1=2sin

2π

3

+1=

3

+1…（10分）
∴f（x）在x=

π

6

处的切线方程为y-(

3

+1)=-2(x-

π

6

)
化简，得6x+3y-3

3

-3-π=0…（12分）

点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求确定其解析式并求图象上某点处的切线方程，着重考查了三角函数的图象与性质和导数的几何意义等知识，属于中档题．