Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性（不必证明）；
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求 的值；
（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数f（x）的解析式可得，在（0，1）上，函数为减函数；

在[1，+∞）上函数为增函数．

（2）解：∵当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，∴ ﹣1=1﹣ ，

∴ =2．

（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），

则函数f（x）在[a，b]上是增函数，故[a，b]（1，+∞）．

可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2个大于1的不等实数根，

即mx2﹣x+1=0有2个大于1的不等实数根．

令h（x）=mx2﹣x+1，则有 ，求得0＜m＜ ．

【解析】（1）根据函数的解析式判断函数在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性．（2）由题意可得， ﹣1=1﹣ ，从而求得 的值．（3）由题意可得1﹣ =ma，1﹣ mb，故方程1﹣ =mx有2个大于1的不等实数根，即mx2﹣x+1=0有2个大于1的不等实数根．令h（x）=mx2﹣x+1，则由 求得m的范围．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题．