Question

若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，则a的最大值是________．

Answer 1

-3
分析：根据函数是奇函数且在R上是减函数，将原不等式变形为cos2x+2sinx≥a恒成立，结合二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值的方法，即可得到a的最大值．
解答：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤-f（sinx-a）恒成立
又∵f（x）是奇函数，-f（sinx-a）=f（-sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（-sinx+a）在R上恒成立
∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，
∴cos2x+sinx≥-sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1-2sin²x，∴cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1，
当sinx=-1时cos2x+2sinx有最小值-3．
因此a≤-3，a的最大值是-3
故答案为：-3
点评：本题在已知函数f（x）的单调性的奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性和奇偶性、二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值等知识，属于基础题．